Напомним, что еще в нашем обсуждении стационарных процессов мы обсуждали функцию автоковариации, а также АКФ (функция автокорреляции), которые позволяют нам выполнять решающую стационарность анализ интересующей нас серии; то есть мы определили стационарность как
и АКФ как
В этой короткой статье мы хотели бы изучить некоторые важные свойства функции автоковариации, которые будет очень полезно иметь в виду по мере продвижения вперед. Но сначала давайте вспомним важное неравенство, которое, вероятно, преследовало многих из вас, изучавших математику на университетском уровне: знаменитое неравенство Коши-Шварца неравенство.
Теперь вы можете взглянуть на это и не понять, что происходит. Как, вероятно, сказал бы Эндрю Нг: не беспокойтесь об этом, если вы этого не понимаете. Хотя я не буду подробно объяснять все субтитры абстрактной линейной алгебры, я просто хотел бы изложить основную идею: предположим, что у вас есть два следующих вектора:
Они могут содержать, например, какие-то данные (например, точки данных временных рядов). Говорят, что эти векторы находятся в пространстве произведения, имеющем внутреннее произведение (или в евклидовом пространстве, с которым вы больше всего знакомы; простые вещественные числа, точечный продукт), который определяется (для евклидова пространства) следующим образом:
То есть он умножает векторы поэлементно и складывает результат. Теперь (L2) норма вектора определяется как
которую вы можете узнать как классическую формулу расстояния. Вооружившись этими определениями, Коши-Шварц говорит о том, что абсолютное значение внутреннего произведения двух векторов всегда не больше, чем произведение их индивидуальных величин. Я включил большинство этих понятий, определений, лемм, теорем и многого другого в мою дополнительную статью Приложение к линейной алгебре. Теперь давайте перейдем к тому, ради чего мы пришли: к функции автоковариации.
Свойства автоковариационной функции
Предположим, у нас есть временной ряд Xt. Потом,
Это следует из
по определению дисперсии.
Это говорит о том, что абсолютное значение автоковариации при любой задержке не больше, чем дисперсия процесса. Это следует из неравенства Коши-Шварца, которое мы представили выше.
Это действительно полезное свойство, которым вы будете пользоваться все время, даже не задумываясь. Это следует из двух предыдущих.
Это немного сложнее доказать, поэтому я не буду доказывать его здесь, но оно использует все предыдущие свойства. Позже это будет полезно при выводе некоторых других уравнений.
Это просто выходит за рамки этой серии статей, но, тем не менее, полезно знать! Это гарантирует, что для каждого стационарного ряда его функция автоковариации всегда будет положительной и четной, и наоборот!
В следующий раз
Это все на данный момент! В следующей статье мы увидим, как мы можем оценить функции автоковариации и автокорреляции по нашим фактическим выборочным данным, почему это оправдано и как мы можем впоследствии использовать их для более формальной проверки на стационарность с использованием статистики вывода (то есть проверки гипотезы) . Увидимся в следующий раз!
Последний раз
Главная страница
Следуй за мной в
- https://blog.jairparraml.com/
- https://www.linkedin.com/in/hair-parra-526ba19b/
- https://github.com/JairParra
- https://medium.com/@hair.parra
